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Chapitre 1:théorie des ensembles

Théorie des ensembles

Ce chapitre est consacré aux notions élémentaires et aux concepts généraux de la théorie des ensembles ,

dont on a besoin pour une introduction moderne à la théorie du calcul de probabilité

1)      Définitions On  appelle  ensemble  toute  liste  ou  toute  collection  d’objets  bien définis. On appelle

éléments ou nombres de l’ensemble les objets appartenant à l’ensemble.On écrit PεA si p est un élément

de l’ensemble A. Si chaque élément de A appartient aussi à un ensemble B c’est-à-dire si p ε A implique p ε

B,on dit alors que A est un sous-ensemble de B , ou que A est contenu dans B , ce que l’on écrit

Capture 1 Deux ensembles sont identiques si chacun  d’eux  est  contenu  dans  l’autre ; on  écrit

alors  A =  B ssi Capture 2 .On représente les négations de

Capture 3 . On particularise  un   ensemble   donné  soit  en  dénombrant 

 ses  éléments  soit  en  établissant  des propriétés caractérisant ses éléments ex : A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 }

signifie que A est l’ensemble constitué des nombres 1 ; 3 ; 5 ; 7 et 9 Capture 4

signifie que B est l’ensemble des nombres premiers inférieurs à 15

nous pouvons  observer  que :  Capture 5

Sauf indication contraire, on suppose que tous les ensembles considérés sont des sous-ensembles d’un

certain ensemble que l’on appelle l’ensemble universel et que l’on note U.On utilise également la notation

Capture 6  pour  désigner l’ensemble  vide  ou  nul  c’est-à-dire  l’ensemble  qui  ne   contient  aucun  élément.

On considère que cet ensemble est un sous-ensemble de tout autre ensemble ex :  U  peut  représenter  V

l’ensemble   des  nombres   naturels , W  l’ensemble   des  nombres   entiers, Y l’ensemble  des  réels  Dans

l’étude de  la population humaine, l’ensemble universel est constitué de tous les habitants de la Terre.

Opérations sur les ensembles Soient A et B des ensembles arbitraires La réunion de A et B que l’on désigne par

AUB  est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B Capture 8VENNE DIAGL’intersection de A et de B que l’on désigne par A ∩ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B Capture9FIG 1La différence entre A et B que l’on note A \ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B Capture 10

Le complémentaire de A que l’on désigne parCapture 11

est l’ensemble des éléments qui n’appartiennent pas à A set universal ex : soient A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } , B = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } , U = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . }Capture 12Lois d’algèbre des ensembles 1)

Loi idempotente                                 Capture 13

2)      Loi associative                                      capture 15

3)      Loi commutative                                       capture16

4)      Loi de distributivité   Capture 1b5)      Loi d’identité1c  6)      Loi de complémentarité  Capture N1CaptureN27)      Loi de De MorganCaptureN3  Exercices

U = { 1 ; 2 ; 3 ; . . . ; 8 ; 9 }          A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }           B = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }           C = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

Détermine :

CaptureN10 CaptureN12

CaptureN13

CaptureN14      CaptureN16         CaptureN17   CaptureN18

Dénombrement par comptage direct  

1) Arrangements avec répétition   Exemple De combien de manières peut-on tirer successivement, avec

remise, trois boules dans une urne qui contient quatre boules numérotées de 1 à 4 ? On représente les

possibilités de tirage sur un diagramme en arbre

1ère boule                        2ème boule                                            3ème boule                            résultats

emshab2

emshab3

Il y a donc 4x4x4 =64 manières de trier, avec remise, trois  boules numérotées de 1 à 4   On  appelle  ce

procédé un arrangement avec répétition .

Définition

Tout  arrangement  avec répétition de n objets pris p à p est une liste de p objets, distincts ou non, choisis parmi les n objets donnés Deux listes peuvent différer soit par la nature  des éléments soit par l’ordre des éléments Le nombre d’arrangements avec répétition de n objets pris p à p est noté  

   marddi08                      

Exemples 1)      Combien peut-on écrire de nombres de trois chiffres distincts de 0 ?

Soit C = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 } Il y a autant de nombres de trois chiffres significatifs qu’il y a d’arrangements avec répétition des neuf chiffres pris trois à trois

mardi082

2)      De combien de manières peut-on tirer, successivement et avec remise, trois boules dans une urne en contenant cinq ?  Capture 081

Remarque : principe fondamental de l’analyse combinatoire Si une procédure quelconque peut être représentée de n1 façons différentes, si après cette procédure une deuxième procédure peut être représentée de n2 façons différentes, et si après cette procédure une troisième procédure peut être représentée de n3 façons différentes, et ainsi de suite, alors le nombre de façons différentes permettant d’exécuter les procédures dans l’ordre indiqué est égal au produit n1 . n2 . n3 . …

Exemple Supposons qu’une plaque d’immatriculation contienne deux lettres distinctes suivies de trois

chiffres dont le premier est différent de zéro. Combien de plaques différentes peut-on imprimer ?

Il y a : 26 . 25 . 9 . 10 . 10 = 585 000 plaques différentes possibles à imprimer    

2) Arrangements sans répétition  

Exemple : de combien de manières peut-on tirer successivement, sans remise, trois boules dans une urne

qui  contient  quatre  boules   numérotées  de 1  à 4 ?

On  représente  les  possibilités  de  tirage  sur  un diagramme en arbre  Il y a: 4 . 3 . 2 = 24 possibilités de

tirer sans remise trois boules numérotées

fig0807

Définition

Tout arrangement sans répétition de n objets pris p à p est une liste de p objets distincts choisis

parmi les n objets distincts donnés Le nombre d’arrangements sans répétition de n objets pris p

à p est noté A

Formule         A  =  n . ( n – 1 ) . ( n – 2 )  . … . ( n – p + 2 ) . ( n – p + 1 )  

Exemple De combien de manières différentes 14 élèves peuvent-ils former une équipe de football si l’on

indique la place que doit occuper chaque joueur ?

Le nombre d’équipes possibles est : A  = 14 . 13 . 12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 14 529 715 200

3) Permutations sans répétition  

Exemple De combien de manières peut-on classer 3 personnes par ordre de préférence ?

Supposons que les initiales des noms des personnes soient A, B et C

Place occupée par A     Place occupée par B       Place occupée par C

fig0807

3 2 1 Il y a 3 . 2 . 1 = 6 possibilités de classer les 3 personnes

Définition Toute permutation sans répétition de n objets est une liste de n objets distincts.

C’est donc une permutation d’un ensemble de n éléments. Le nombre de permutations sans

répétition de n objets est noté Pn   Formule             Pn  =  n . ( n – 1 ) . ( n – 2 ) . … . 2 . 1     7

Remarques

  • Pn = A             
  • Nouvelles notations

Le produit des n premiers naturels non nuls se note n ! et se lit factorielle de n   n !  =  n . ( n – 1 ) . ( n – 2 ) . … . 3 . 2 . 1     Par convention : 0 ! = 1 Nouvelle présentation des formules antérieures A  = Pn = n !   Exemples 1)      De combien de manières différentes 11 élèves peuvent-ils former une équipe de football si l’on indique la place que doit occuper chaque élève ? P11 = 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 39 916 800 manières différentes   2)      Combien peut-on former d’anagrammes du mot « chien » ? P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120   3)      Combien peut-on former de nombres de 5 chiffres à l’aide des chiffres 0 ; 1 ; 2 ; 3 et 4 ? P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120   4) Permutations avec répétitions   Le nombre de permutations de n objets dont n1 sont semblables, n2 sont semblables, … , ni sont semblables est   Exemples 1)      Supposons que l’on veuille former tous les mots de 5 lettres possibles à partir du mot « LILLE » Il y a 5 ! = 120 permutations possibles des objets L1, I, L2, L3, E quand les 3 « L » sont distincts Puisqu’il y a 3 ! = 6 façons différentes de placer les 3 « L », il ya donc = = 20 mots différents de 5 lettres qui peuvent être formés à partir des lettres du mot « LILLE »   2)      Combien de signaux différents, chaque signal étant constitué de 8 pavillons alignés verticalement, peut-on former à partir d’un ensemble de 4 pavillons rouges indiscernables, 3 pavillons blancs indiscernables et un pavillon bleu ? Il y a : = = 280 signaux différents possibles       III . Dénombrement par comptage indirect   1) Combinaison sans répétition   Exemple De combien de manières différentes peut-on élire 3 personnes parmi 5 ? Résoudre le problème revient à compter le nombre de sous-ensembles de 3 éléments inclus dans un ensemble A de 5 éléments Il existe A   = 60 injections appliquant { 1 ; 2 ; 3 } dans A Une même partie de 3 éléments de A est déterminée par plus d’une injection appliquant { 1 ; 2 ; 3 } dans A Il existe 6 injections appliquant { 1 ; 2 ; 3 } sur une même partie de A Il suffit en effet de permuter les trois images entre elles Dès lors, le nombre de sous-ensembles de 3 éléments inclus dans un ensemble comprenant 5 éléments est égal à = = 10   Définition Toute combinaison sans répétition de n objets pris p à p est une liste de p objets distincts choisis parmi les n objets donnés, deux listes différant uniquement par la nature de leurs éléments   Le nombre de combinaisons sans répétition de n éléments pris p à p est noté C   Formule    C  =    =        Exemples 1)      Combien peut-on former de sous-ensembles de 7 éléments dans un ensemble de 15 éléments , C  = = = =  = 15 . 13 . 11 . 3 = 6 435   2)      Il faut élire 3 délégués dans une classe de 28 élèves. De combien de manières peut-on réaliser cette élection ? C   = = = 28 . 9 . 13 = 3 276   3)      Sept chevaux sont départ d’une course. Combien y a-t-il de tiercés dans le désordre possibles ? C   = = = 7 . 5 = 35                     2) Propriétés des C  

  • «  n Î V : C             = 1          C             = n          C             = n          C             = 1

En effet : C  = = 1 C  = = n C  = = = n C  = = = 1

  • «  n, p Î V : p £ n          C             = C           

En effet : C  = C  = =

  • «  n, p Î V : p £ n           C             = C             + C           

En effet C  + C  = + = = = = = C   3) Triangle de Pascal   Considérons les suites de nombres entiers C  disposés dans le tableau suivant :

n  0  1  2  3  4  5  6  …  p
0 C
1 C C
2 C C C
3 C C C C
4 C C C C C
5 C C C C C C
6 C C C C C C C
n C C C C C C C C

Dans ce tableau, on considère les nombres situés dans les cases disposées de la manière suivante :

 x  y
 z

En posant x = C   , il vient y = C  et z = C En vertu de la propriété 3, on a x + y = z et compte tenu de la propriété 1, on obtient le tableau suivant, appelé triangle de Pascal

n  0  1  2  3  4  5  6
0  1
1  1  1
2  1  2  1
3  1  3  3  1
4  1  4  6  4  1
5  1  5 10 10  5  1
6  1  6 15 20 15  6  1

  4) Binôme de Newton   «  n Î V0, «  a, x Î Y : ( a + x )m =  C   am  +  C  am-1 x + … + C  xm   Exemples   1)      ( a + b )3 = C  a3 + C  a2 b + C  a b2 + C  b3                             = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3   2)      ( x – 3 )3 = C  x4 + C  x3 . ( – 3 ) + C  x2 . ( – 3 ) . 2 + C  x . ( – 3 ) . 3 + C  . ( – 3 ) . 4                             = x4 + 4 x3 . ( – 3 ) + 6 x2 . 9 + 4 x . ( – 27 ) + 1 . 81                             = x4 – 12 x3 + 54 x2 – 108 x + 81   3)   ( 2 x – 3 y )5 = C  ( 2 x )5 + C  ( 2 x )4 . ( – 3 y ) + C  ( 2 x )3 . ( – 3 y )2 + C  ( 2 x )2 . ( – 3 y )3 + C  ( 2 x ) ( – 3 y )4 + C  ( – 3 y )5 = 32 x5 + 5 . 16 x4 . ( – 3 y ) + 10 . 8 x3 . 9 y2 + 10 . 4 x2 . ( – 27 y3 ) + 5 . 2x . 81 y4 + 1 ( – 243 y5 ) = 32 x5 – 240 x4 y + 720 x3 y2 – 1 080 x2 y3 + 810 x y4 – 243 y5                     Exercices   1)      Effectue : a)      ( x² + y ) = b)      ( 2 x – 3 ) = 2)      Détermine le triangle de Pascal pour n = 10 3)      Dans le développement du binôme de Newton indiqué, détermine, sans effectuer , le terme dont l’exposant de x est  : a)      dans ( x + a ) b)      12 dans ( 2 a – 3 x³ ) c)      -2 dans ( x – ) d)     0 dans ( 2 x² + ) 4)      Développe ( 1 + ) .  Calcule ensuite    lim   ( 1 + ) mà +¥ 5)      Démontre que : a)       = C  + 2 C  + C b)       = C  + C c)      C  + C  + C  + … + C  = 2 d)     C  – C  + C  – … + ( – 1 ) C  = 0

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