Calcul différentiel et intégral

  a)      Définition de la différentielle

Soit une fonction y = f(x) admettant une dérivée finie y’ = f’(x) ,donnons à x un accroissement Δ x ,Par définition,le produit f’(x) Δ x  s’appelle la différentielle de f(x) On écrit :

df = f’(x) Δ x      ou     dy = y’ Δ x   

En particulier, si f(x) = x, on a f’(x) = 1  et dx = Δ x. Donc, dy s’écrit  dy = y’ dx ,d’ou  y’ = dy/dx  Exemple : y = x²     et y’ = 2 x

b)      Signification géométrique de la différentielle

Considérons la courbe d’équation y = f(x) et le point P( x ; y ) de cette courbe à l’accroissement Δ x correspondent deux points : l’un sur la courbe et l’autre sur la tangente en P  , y + Δ y est l’ordonnée du point sur la courbe y + dy est l’ordonnée du point sur la tangente. En effet, y’ étant le coefficient angulaire de cette tangente, y’ dx = dy

2) Notion d’intégrale

a)      Définition

On appelle primitive d’une fonction f(x), une fonction F(x) dont la dérivée est f(x) si F’(x) = f(x)

F(x) est une primitive de f(x)

Exemple : x² est une primitive de 2 x en effet, ( x² )’ = 2 x

b)      Propriété fondamentale

Si F(x) est une primitive de f(x) et C est une constante

a)        F(x) + C est aussi une primitive de f(x)

b)        toute primitive de f(x) est de la forme F(x) + C  

Exemple : une primitive de 2 x est x² + 5 ; x² – 273 ; … les primitives de 2 x sont x² + C c)

Notion d’intégrale indéfinie

f(x) étant une fonction continue, on représente l’ensemble des primitives de f(x) par ∫ f(x)dx ,qu’on appelle, intégrale indéfinie de f(x) 

Exemple : ∫2x dx = x² + C

3) Méthodes d’intégration

 Généralités: Intégrer une fonction, c’est rechercher son intégrale indéfinie c’est-à-dire l’ensemble de ses primitives

     où C est une constante   Il n’existe pas de règles directes pour intégrer, comme il en existe pour dériver On recherche, selon certains procédés, la fonction dont la dérivée égale la fonction donnée

Remarque :      où C est une constante

Intégration immédiate  

Les formules de dérivation des fonctions simples donnent immédiatement :

,

 Intégration par décomposition

∫(C1U+C2V)dx =C1∫Udx +C2∫Vdx

C1 et C2 étant deux constantes et u et V des fonctions continues de X

Exemple

4) Intégrale définie  

 Introduction  

Pour calculer l’aire d’une partie du plan, les mathématiciens grecs utilisèrent des méthodes géométriques qui consistaient à transformer la partie donnée du plan en un ou plusieurs polygones dont les aires sont plus faciles à calculer. Plus tard, c’est à l’aide de décomposition de parties du plan en parties élémentaires que KEPLER ( 1571 – 1630 ), entre autres, poursuivit ce calcul d’aires et de volumes. Grâce aux travaux d’autres mathématiciens, LEIBNIZ ( 1646 – 1716 ) et NEWTON ( 1643 – 1727 ) ont construit une méthode plus générale pour le calcul des aires et des volumes. Illustrons la décomposition en figures géométriques sur un exemple.

Soit une surface S limitée par trois droites a, b et c et une courbe G La fonction : f :  Y •  Y : x • x² de graphe cartésien G a  º x = 0 b  º x = 2 c º y = 0

On découpe  respectivement en 2, 4, 8, 16, … 2 sous – intervalles de même longueur                               On construit des rectangles dont les bases sont les sous – intervalles et dont les hauteurs sont les réels déterminés de la manière suivante : 1^er cas : l’image de l’origine du sous – intervalle 2^ème cas : l’image de l’extrémité du sous – intervalle 3^ème cas : l’image du milieu du sous – intervalle

         1^er cas                                             2^ème cas                                            3^ème cas

Dans chacun des cas, on calcule la somme des aires des rectangles ainsi construits. Intuitivement, il est facile de comprendre que l’approximation de l’aire de la surface S s’améliore lorsque l’amplitude des sous – intervalles diminue, c’est-à-dire lorsque le nombre de subdivisions augmente. On obtient le tableau des résultats suivants où :

• n est le nombre des sous – intervalles de
• S_i est la somme des aires des rectangles dans le 1^er cas
• S_s est la somme des aires des rectangles dans le 2^ème  cas
• S_m est la somme des aires des rectangles dans le 3^ème  cas

n	Si	Ss	Sm
2	1	5	2,5
4	1,75	3,75	2,625
8	2,1875	2,921875	2,65625
16	2,421875	2,921875	2,6640625
32	2,54296175	2,79296875	2,666015625
…	…	…	…
32768	2,666544528	2,666788738	2,66666666

On voit que S_i, S_s, S_m tendent vers le même réel 2,666… lorsque n tend vers +  ¥ Cette limite commune est l’aire S de la partie considérée au départ. On va montrer que ces trois suites des nombres ont la même limite lorsque n tend vers +  ¥  et que cette limite est On divise l’intervalle  en sous – intervalles successifs de même longueur h           Ainsi : S_i = h . f(s₀) + h . f(s₁) + … + h . f(s_n-1) = h . ( 0 h )² + h . ( 1 h )² + … + h . (  ( n – 1 ) h ) = h³ ( 1² + 2² + 3² + … + ( n – 1 )² )   S_s = h . ( 1 h )² + h . ( 2 h )² + … + h . ( n h )² = h³ ( 1² + 2² + 3² + … + n² )   S_m = h . f(m₁) + h . f(m₂) + … + h . f(m_n-1) = h . (  ) + h . (  ) + … + h . (   ) =  ( 1² + 3² + 5² + … + ( 2 n – 1 )² ) Comme 1² + 2² + 3² + … + ( p – 1 )² + p² = il s’en suit que :

• 1² + 2² + 3² + … + ( n – 2 )² + ( n – 1 )² =
• 1² + 2² + 3² + … + ( n – 1 )² + n² =
• 1² + 3² + 5² + … + ( 2 n – 1 )² = ( 1² + 2² + 3² + … + ( 2 n )² ) – ( 2² + 4² + 6² + … + ( 2 n )² )

= ( 1² + 2² + 3² + … + ( 2 n )² ) – 4 ( 1² + 2² + 3² + … + n² ) =    –  4 . =    ( 4 n + 1 – 2 ( n + 1 ) ) =   Il vient : S_i =  h³    =   . S_s =  h³    =   . S_m = h³    =   . car h = Dès lors :   S_i =   .     =    . 2 = S_s =   .    =   . 2  =   S_m =  .      =    .  4  =             b)      Intégrale définie d’une fonction continue   1)      Subdivision finie d’un segment   On divise le segment  en n intervalles successifs notés [ x_i , x_i+1 ] où 0  <  i   <  n – 1 x₀ = a      et      x_n = b             La suite de réels ( x₀ , x₁ , x₂ , … , x_i , x_n-1 , x_n ) est appelée une subdivision finie de     2)      Définition   Soit f :  Y •  Y : x • f(x) une fonction continue sur Soit une subdivision finie de  telle que tous les sous – intervalles ont la même longueur  Dx = On pose : =  ( x₁ – x₀ ) f(c₁) + ( x₂ – x₁ ) f(c₂) + … + ( x_n – x_n-1 ) f(c_n) où f(c_i) est la plus grande valeur prise par f sur [ x_i , x_i+1 ]   F_n = ( x₁ – x₀ ) f(d₁) + ( x₂ – x₁ ) f(d₂) + … + ( x_n – x_n-1 ) f(d_n) où f(d_c) est la plus petite valeur prise par f sur [ x_i , x_i+1 ]   = F_n =   Si la différence  – F_n tend vers o, lorsqu’on tend vers  + ¥, alors  et F_n admettent la même limite, lorsque n tend vers + ¥ On dit alors que f est intégrable Dans ce cas, toute somme  (α_i) Dx, où α_i est un réel quelconque de [ x_i-1 , x_i ], admet la même limite que  et F_n lorsque n tend vers + ¥                       Donc

Si           f(αi) Dx existe et est   indépendante des réels αi

alors :

•   F est intégrable sur
•   Cette limite est appelée l’intégrale définie de la fonction   f de x = a  à  x = b et est notée  ( x ) dx
•   a et b sont appelés les bornes de  (   x ) dx

3)      Interprétation géométrique Soit f :  Y •  Y : x • f(x)     continue sur P, la partie du plan métrique rapporté à une base orthonormée qui est délimitée par : – l’axe des abscisses – le graphe cartésien de f – les droites d’équations  x = a   et   x = b   1^er cas : f est positive sur

x

y

0

(α_i) . Dx  > 0   D’où (x) dx  > 0           Ainsi, l’aire de la partie P = (x) dx         2^ème cas : f est négative sur

x

y

0

(α_i) .  Dx   < 0   D’où (x) dx   < 0         Ainsi, l’aire de la partie P = – (x) dx   3^ème cas : f est quelconque sur Soit c un réel de  tel que f soit :

x

y

0

– positive sur a , c   – négative sur c , b Dans ce cas, l’aire de la partie P = (x) dx + ( – (x) dx )                       4)      Propriétés   Les théorèmes suivants conduisent au calcul de l’intégrale définie d’une fonction continue Théorème 1 :

Toute fonction   continue sur  est intégrable sur     On admet cet énoncé sans démonstration Dans la suite, on suppose que les fonctions sont continues sur   Théorème 2

La permutation des   bornes de l’intégrale définie d’une fonction continue change le signe de   cette intégrale

(x) dx   =   – (x) dx

    Démonstration Si l’on change les bornes de l’intégrale, on change le sens de parcours de l’intervalle Les facteurs  Dx changent de signe, tandis que les facteurs f(α_i) conservent leur signe La somme (α_i) .  Dx_i change donc de signe et sa limite aussi   Conséquence immédiate             Théorème 3  

(x) dx = 0          Théorème 4 : additivité de l’intégrale définie  

 » c  Î  : (x) dx = (x) dx     +      (x) dx     On admet sans démonstration   Théorème 5 : linéarité de l’intégrale définie  

      = (x) dx + (x) dx             Démonstration =    ( f(α_i) + g(α_i) ) .  Dx =     ( f(α_i) . Dx + g(α_i) .  Dx ) =   f(α_i) . Dx  +      g(α_i) . Dx = (x) dx + (x) dx   Théorème 6

 » k  Π Y :  . f(x) dx = k . (x) dx     Démonstration f(x) dx =  k . ) . Dx = k .    ) . Dx   = k . (x) dx   Théorème 7 : théorème de la moyenne

Si :

• m est la plus petite valeur prise par f sur
• M est la plus grande valeur prise sur

alors 1)        m . ( b – a )  < (x) dx  < M ( b – a ) 2)        $ c  Î  : (x) dx = f(c) . ( b – a )     Démonstration 1)      Conséquence immédiate de la définition 2)      Puisque m ( b – a )   <  (x) dx  <  M ( b – a ) $ r  Π Y : (x) dx = r ( b – a ) , avec m  < r  < M Comme f (  ) =  et que f est continue sur On a : m  < r  < M   Þ  $ c  Î  : f(c) = r Dès lors, $ c  Î  : (x) dx = f(c) . ( b – a ) Théorème 8

Si f est une fonction continue sur alors : 1)        la fonction F :  Y •  Y :   x • (t) dt est dérivable sur 2)        la dérivée de F est f     Démonstration Soit x₀  Î Par définition de F :  » x  Π \ {x₀} :  = =                     par th2 =                                        par th4 =                                 par th7 avec r compris entre x et x₀ = f(r)   Dès lors :  » x₀  Î  : F’(x₀) = =  f(r) = f(r) = f(x₀)   Ainsi, si F est dérivable sur  et  » x Î  : F’(x) = f(x) Cqfd   Théorème 9 : théorème des fonctions admettant la même dérivée

Si :

• F et G sont deux fonctions continues        sur
• x         Î ] a , b [ : F’(x) = G’(x)

Alors F – G est une   fonction constante sur     Démonstration

• Puisque F et G sont des fonctions dérivables sur ] a , b [  ,      la fonction F – G est aussi dérivable sur ] a , b [

F – G est, dès lors, continue sur ] a , b [

• De plus,  » x  Î  : F’(x) – G’(x) = 0

C’est-à-dire   ‘ = 0 Donc  » x  Î  : F(x) – G(x) est une constante   Théorème 10 : formule de l’intégrale définie d’une fonction continue

Si :

• f est continue sur
• f est la dérivée de la fonction F, sur

alors  » x  Î    : (t) dt = F(x) – F(a) En   particulier : (t) dt = F(x) – F(a) =        Démonstration Considérons la fonction G :  •  Y : x • (t) dt Par le théorème 8, f est la dérivée de G Puisque F et g ont f comme dérivée sur  : $ k Î Y ,  » x Î  : G(x) – F(x) = k                         par th9 c’est-à-dire $ k Î Y ,  » x Î : (t) dt = F(x) + k En particulier, pour x = a, on a : F(a) + k = G(a) = (t) dt = 0 c’est-à-dire k = – F(a) Dès lors,  » x Î  : (t) dt = G(x) = F(x) – F(a) En particulier, si x = b, alors (t) dt = F(b) – F(a)