Théorie des ensembles

Ce chapitre est consacré aux notions élémentaires et aux concepts généraux de la théorie des ensembles ,

dont on a besoin pour une introduction moderne à la théorie du calcul de probabilité

1)      Définitions On  appelle  ensemble  toute  liste  ou  toute  collection  d’objets  bien définis. On appelle

éléments ou nombres de l’ensemble les objets appartenant à l’ensemble.On écrit PεA si p est un élément

de l’ensemble A. Si chaque élément de A appartient aussi à un ensemble B c’est-à-dire si p ε A implique p ε

B,on dit alors que A est un sous-ensemble de B , ou que A est contenu dans B , ce que l’on écrit

Deux ensembles sont identiques si chacun  d’eux  est  contenu  dans  l’autre ; on  écrit

alors  A =  B ssi  .On représente les négations de

. On particularise  un   ensemble   donné  soit  en  dénombrant 

 ses  éléments  soit  en  établissant  des propriétés caractérisant ses éléments ex : A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 }

signifie que A est l’ensemble constitué des nombres 1 ; 3 ; 5 ; 7 et 9

signifie que B est l’ensemble des nombres premiers inférieurs à 15

nous pouvons  observer  que :  

Sauf indication contraire, on suppose que tous les ensembles considérés sont des sous-ensembles d’un

certain ensemble que l’on appelle l’ensemble universel et que l’on note U.On utilise également la notation

  pour  désigner l’ensemble  vide  ou  nul  c’est-à-dire  l’ensemble  qui  ne   contient  aucun  élément.

On considère que cet ensemble est un sous-ensemble de tout autre ensemble ex :  U  peut  représenter  V

l’ensemble   des  nombres   naturels , W  l’ensemble   des  nombres   entiers, Y l’ensemble  des  réels  Dans

l’étude de  la population humaine, l’ensemble universel est constitué de tous les habitants de la Terre.

Opérations sur les ensembles Soient A et B des ensembles arbitraires La réunion de A et B que l’on désigne par

AUB  est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B L’intersection de A et de B que l’on désigne par A ∩ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B La différence entre A et B que l’on note A \ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B

Le complémentaire de A que l’on désigne par

est l’ensemble des éléments qui n’appartiennent pas à A  ex : soient A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } , B = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } , U = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . }Lois d’algèbre des ensembles 1)

Loi idempotente                                

2)      Loi associative                                     

3)      Loi commutative                                       

4)      Loi de distributivité   5)      Loi d’identité  6)      Loi de complémentarité  7)      Loi de De Morgan  Exercices

U = { 1 ; 2 ; 3 ; . . . ; 8 ; 9 }          A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }           B = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }           C = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

Détermine :

                  

Dénombrement par comptage direct  

1) Arrangements avec répétition   Exemple De combien de manières peut-on tirer successivement, avec

remise, trois boules dans une urne qui contient quatre boules numérotées de 1 à 4 ? On représente les

possibilités de tirage sur un diagramme en arbre

1^ère boule                        2^ème boule                                            3^ème boule                            résultats

Il y a donc 4x4x4 =64 manières de trier, avec remise, trois  boules numérotées de 1 à 4   On  appelle  ce

procédé un arrangement avec répétition .

Définition

Tout  arrangement  avec répétition de n objets pris p à p est une liste de p objets, distincts ou non, choisis parmi les n objets donnés Deux listes peuvent différer soit par la nature  des éléments soit par l’ordre des éléments Le nombre d’arrangements avec répétition de n objets pris p à p est noté  

                         

Exemples 1)      Combien peut-on écrire de nombres de trois chiffres distincts de 0 ?

Soit C = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 } Il y a autant de nombres de trois chiffres significatifs qu’il y a d’arrangements avec répétition des neuf chiffres pris trois à trois

2)      De combien de manières peut-on tirer, successivement et avec remise, trois boules dans une urne en contenant cinq ?  

Remarque : principe fondamental de l’analyse combinatoire Si une procédure quelconque peut être représentée de n₁ façons différentes, si après cette procédure une deuxième procédure peut être représentée de n₂ façons différentes, et si après cette procédure une troisième procédure peut être représentée de n₃ façons différentes, et ainsi de suite, alors le nombre de façons différentes permettant d’exécuter les procédures dans l’ordre indiqué est égal au produit n₁ . n₂ . n₃ . …

Exemple Supposons qu’une plaque d’immatriculation contienne deux lettres distinctes suivies de trois

chiffres dont le premier est différent de zéro. Combien de plaques différentes peut-on imprimer ?

Il y a : 26 . 25 . 9 . 10 . 10 = 585 000 plaques différentes possibles à imprimer    

2) Arrangements sans répétition  

Exemple : de combien de manières peut-on tirer successivement, sans remise, trois boules dans une urne

qui  contient  quatre  boules   numérotées  de 1  à 4 ?

On  représente  les  possibilités  de  tirage  sur  un diagramme en arbre  Il y a: 4 . 3 . 2 = 24 possibilités de

tirer sans remise trois boules numérotées

Définition

Tout arrangement sans répétition de n objets pris p à p est une liste de p objets distincts choisis

parmi les n objets distincts donnés Le nombre d’arrangements sans répétition de n objets pris p

à p est noté A

Formule         A  =  n . ( n – 1 ) . ( n – 2 )  . … . ( n – p + 2 ) . ( n – p + 1 )  

Exemple De combien de manières différentes 14 élèves peuvent-ils former une équipe de football si l’on

indique la place que doit occuper chaque joueur ?

Le nombre d’équipes possibles est : A  = 14 . 13 . 12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 14 529 715 200

3) Permutations sans répétition  

Exemple De combien de manières peut-on classer 3 personnes par ordre de préférence ?

Supposons que les initiales des noms des personnes soient A, B et C

Place occupée par A     Place occupée par B       Place occupée par C

3 2 1 Il y a 3 . 2 . 1 = 6 possibilités de classer les 3 personnes

Définition Toute permutation sans répétition de n objets est une liste de n objets distincts.

C’est donc une permutation d’un ensemble de n éléments. Le nombre de permutations sans

répétition de n objets est noté P_n   Formule             P_n  =  n . ( n – 1 ) . ( n – 2 ) . … . 2 . 1     7

Remarques

• P_n = A             

• Nouvelles notations

Le produit des n premiers naturels non nuls se note n ! et se lit factorielle de n   n !  =  n . ( n – 1 ) . ( n – 2 ) . … . 3 . 2 . 1     Par convention : 0 ! = 1 Nouvelle présentation des formules antérieures A  = P_n = n !   Exemples 1)      De combien de manières différentes 11 élèves peuvent-ils former une équipe de football si l’on indique la place que doit occuper chaque élève ? P₁₁ = 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 39 916 800 manières différentes   2)      Combien peut-on former d’anagrammes du mot « chien » ? P₅ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120   3)      Combien peut-on former de nombres de 5 chiffres à l’aide des chiffres 0 ; 1 ; 2 ; 3 et 4 ? P₅ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120   4) Permutations avec répétitions   Le nombre de permutations de n objets dont n₁ sont semblables, n₂ sont semblables, … , n_i sont semblables est   Exemples 1)      Supposons que l’on veuille former tous les mots de 5 lettres possibles à partir du mot « LILLE » Il y a 5 ! = 120 permutations possibles des objets L₁, I, L₂, L₃, E quand les 3 « L » sont distincts Puisqu’il y a 3 ! = 6 façons différentes de placer les 3 « L », il ya donc = = 20 mots différents de 5 lettres qui peuvent être formés à partir des lettres du mot « LILLE »   2)      Combien de signaux différents, chaque signal étant constitué de 8 pavillons alignés verticalement, peut-on former à partir d’un ensemble de 4 pavillons rouges indiscernables, 3 pavillons blancs indiscernables et un pavillon bleu ? Il y a : = = 280 signaux différents possibles       III . Dénombrement par comptage indirect   1) Combinaison sans répétition   Exemple De combien de manières différentes peut-on élire 3 personnes parmi 5 ? Résoudre le problème revient à compter le nombre de sous-ensembles de 3 éléments inclus dans un ensemble A de 5 éléments Il existe A   = 60 injections appliquant { 1 ; 2 ; 3 } dans A Une même partie de 3 éléments de A est déterminée par plus d’une injection appliquant { 1 ; 2 ; 3 } dans A Il existe 6 injections appliquant { 1 ; 2 ; 3 } sur une même partie de A Il suffit en effet de permuter les trois images entre elles Dès lors, le nombre de sous-ensembles de 3 éléments inclus dans un ensemble comprenant 5 éléments est égal à = = 10   Définition Toute combinaison sans répétition de n objets pris p à p est une liste de p objets distincts choisis parmi les n objets donnés, deux listes différant uniquement par la nature de leurs éléments   Le nombre de combinaisons sans répétition de n éléments pris p à p est noté C   Formule    C  =    =        Exemples 1)      Combien peut-on former de sous-ensembles de 7 éléments dans un ensemble de 15 éléments , C  = = = =  = 15 . 13 . 11 . 3 = 6 435   2)      Il faut élire 3 délégués dans une classe de 28 élèves. De combien de manières peut-on réaliser cette élection ? C   = = = 28 . 9 . 13 = 3 276   3)      Sept chevaux sont départ d’une course. Combien y a-t-il de tiercés dans le désordre possibles ? C   = = = 7 . 5 = 35                     2) Propriétés des C  

• «  n Î V : C             = 1          C             = n          C             = n          C             = 1

En effet : C  = = 1 C  = = n C  = = = n C  = = = 1

• «  n, p Î V : p £ n          C             = C           

En effet : C  = C  = =

• «  n, p Î V : p £ n           C             = C             + C           

En effet C  + C  = + = = = = = C   3) Triangle de Pascal   Considérons les suites de nombres entiers C  disposés dans le tableau suivant :

Dans ce tableau, on considère les nombres situés dans les cases disposées de la manière suivante :

En posant x = C   , il vient y = C  et z = C En vertu de la propriété 3, on a x + y = z et compte tenu de la propriété 1, on obtient le tableau suivant, appelé triangle de Pascal

  4) Binôme de Newton   «  n Î V₀, «  a, x Î Y : ( a + x )^m =  C   a^m  +  C  a^m-1 x + … + C  x^m   Exemples   1)      ( a + b )³ = C  a³ + C  a² b + C  a b² + C  b³                             = a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³   2)      ( x – 3 )³ = C  x⁴ + C  x³ . ( – 3 ) + C  x² . ( – 3 ) . 2 + C  x . ( – 3 ) . 3 + C  . ( – 3 ) . 4                             = x⁴ + 4 x³ . ( – 3 ) + 6 x² . 9 + 4 x . ( – 27 ) + 1 . 81                             = x⁴ – 12 x³ + 54 x² – 108 x + 81   3)   ( 2 x – 3 y )⁵ = C  ( 2 x )⁵ + C  ( 2 x )⁴ . ( – 3 y ) + C  ( 2 x )³ . ( – 3 y )² + C  ( 2 x )² . ( – 3 y )³ + C  ( 2 x ) ( – 3 y )⁴ + C  ( – 3 y )⁵ = 32 x⁵ + 5 . 16 x⁴ . ( – 3 y ) + 10 . 8 x³ . 9 y² + 10 . 4 x² . ( – 27 y³ ) + 5 . 2x . 81 y⁴ + 1 ( – 243 y⁵ ) = 32 x⁵ – 240 x⁴ y + 720 x³ y² – 1 080 x² y³ + 810 x y⁴ – 243 y⁵                     Exercices   1)      Effectue : a)      ( x² + y ) = b)      ( 2 x – 3 ) = 2)      Détermine le triangle de Pascal pour n = 10 3)      Dans le développement du binôme de Newton indiqué, détermine, sans effectuer , le terme dont l’exposant de x est  : a)      dans ( x + a ) b)      12 dans ( 2 a – 3 x³ ) c)      -2 dans ( x – ) d)     0 dans ( 2 x² + ) 4)      Développe ( 1 + ) .  Calcule ensuite    lim   ( 1 + ) mà +¥ 5)      Démontre que : a)       = C  + 2 C  + C b)       = C  + C c)      C  + C  + C  + … + C  = 2 d)     C  – C  + C  – … + ( – 1 ) C  = 0